Question

请问这个微分方程的问题怎么解

题目如图一，答案如图二，我觉得答案的解法有争议，因为我认为Q（x）可以如图三的形式，那么-4就必然不是齐次式特征方程的解了...

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Answer 1

-4必然是，特解中有e，特征值必与e的幂有关

追问

在解二次非齐次时，设特解时不是看Q（x）吗，如果Q（x）中有e^ax不是在设特解时抄下来吗……那么题目中给的特解说不定是齐次式通解C1、C2都为零，只剩设的特解的情况啊……

例如我自己假设的这道个题目一样，为了简便我把Qm设为了1次幂

那么当C1 C2为零时特解为y*

但显然-1不是齐次式的特征值

追答

你这自相矛盾，你是由解推特征值，c1 c2都0了，还有e吗

追问

不矛盾啊，解里的e不一定来源于齐次方程的通解啊……题目里没有这个要求吧……因此我觉得答案不完整啊……

追答

你说的有道理，不过你举的例子做错了

追问

那是不是说明我所提问这个题目本身有点问题…题目不严谨...

追答

对

Answer 2

Q(x)不是假设出来的，而是求解出来的。特解代入，自然求得。
y=3e^(-4x)+x²+3x+2
y'=-12e^(-4x)+2x+3
y''=48e^(-4x)+2
代入y''+y'+qy=Q(x)
Q(x)=48e^(-4x)+2-12e^(-4x)+2x+3+q[3e^(-4x)+x²+3x+2]
=(36+3q)e^(-4x)+qx²+（3q+2）x+（5+2q）
常系数，q是常数，36+3q也是常数。
这里的争论是，存在e^(-4x)项，-4是不是原方程的特征根。
常系数微分方程的一个特点是，解和右项，满足迭加原理：
y=y1+y2，y1=3e^(-4x)，y2=x²+3x+2
Q=Q1+Q2,Q1(x)=(36+3q)e^(-4x),Q2(x)=qx²+（3q+2）x+（5+2q）
则：
y1''+y1'+qy1=Q1(x)=(36+3q)e^(-4x)
y2''+y2'+qy2=Q2(x)=qx²+（3q+2）x+（5+2q）
相加：（y1+y2）''+(y1+y2)'+q(y1+y2)=Q1+Q2

对于第二式，左边y2中如果有y3=Ce^ax型项，必须自我消除，因为右边是幂级数，不可能与超越函数相等。自我消除，就是y3''+y3'+qy3=0，y3必须是对应齐次方程的解，不必另行考虑。
对于第一式，y1中不能有幂函数，否则，左边的幂函数，不能与右边超越函数相等。
y2'=2x+3,y2''=2
2+2x+3+q(x²+3x+2)=qx²+（3q+2）x+（5+2q）
是恒等关系。
y1=3e^(-4x)
y1'=-12e^(-4x),y''=48e^(-4x),
48e^(-4x)-12e^(-4x)+3qe^(-4x)=(36+3q)e^(-4x)
也是恒等式。
设y3是齐次通解，
y3''+y3'+qy3=0
则原方程通解为y=y1+y2+y3
（y1+y2+y3）''+（y1+y2+y3）'+q（y1+y2+y3）=0+Q1+Q2=Q(x)
q是不能从这个关系中解出来的。
q是任何值都是可能的。

追答

因此，原来的求解是不完备的。

追问

谢谢，这么详细的过程，明白了