Question

高数，求极限问题

Answer 1

(3)
y=-x
lim(x->-∞) ln(1+3^x)/ln(1+2^x)
=lim(y->+∞) ln(1+3^(-y))/ln(1+2^(-y))
=lim(y->+∞) ln[(1+3^y)/ 3^y ]/ln[ (1+2^y)/2^y ] (0/0 分子分母分别求导)
=lim(y->+∞) [ (ln3).3^y/(1+3^y) - ln3 ] /[ (ln2).2^y/(1+2^y) -ln2 ]
=lim(y->+∞) [ -ln3/(1+3^y) ] /[ -ln2/(1+2^y) ]
=(ln3/ln2) lim(y->+∞) (1+2^y)/(1+3^y)
=0
(4)
y=-x
lim(x->-∞) ln(1+e^x)/x
=lim(y->+∞) ln[1+e^(-y)]/(-y)
=-lim(y->+∞) ln[(1+e^y)/e^y ]/y (0/0 分子分母分别求导)
=-lim(y->+∞) [ e^y/(1+e^y) -1 ]
=lim(y->+∞) [ 1/(1+e^y) ]
=0
(5)
L=lim(x->π/2) (sinx)^tanx
lnL
=lim(x->π/2) ln(sinx)/ cotx (0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->π/2) (cosx/sinx)/ [-(cscx)^2 ]
=0
=> L=1
lim(x->π/2) (sinx)^tanx = 1
(6)

lim(x->π/2) [(1+tanx)/(1+sinx) ]^(1/sinx) -> +∞
是不是这样
lim(x->0) [(1+tanx)/(1+sinx) ]^(1/sinx)
L =lim(x->0) [(1+tanx)/(1+sinx) ]^(1/sinx)
lnL
=lim(x->0) ln[(1+tanx)/(1+sinx) ]/sinx
=lim(x->0) ln[(1+tanx)/(1+sinx) ]/x (0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) [(secx)^2/(1+tanx) - cosx/(1+sinx) ]
=1-1
=0
=> L=1
lim(x->0) [(1+tanx)/(1+sinx) ]^(1/sinx) =1

追问

第三小题，为什么要-ln3

追答

z= ln[(1+3^y)/ 3^y ]
=ln(1+3^y) - yln3
z' = (ln3). 3^y/(1+3^y) - ln3

追问

第三小题画圈圈这个可以直接拿到前面？？为什么极限就是0了

五六小题，为什么要算lnL呢

追答

(3)
(ln3/ln2) lim(y->+∞) (1+2^y)/(1+3^y)
=(ln3/ln2) lim(y->+∞) [ 1/3^y+(2/3)^y ]/(1/3^y +1)

=(ln3/ln2) [ 0+0 ]/(0 +1)
=0
(5) (6)
lnL 只是为了方便计算！

Answer 2

追问

第五个要怎么想到用这个方法，第六个是怎么看出极限的

追答

第 5 个是幂指函数，化为指数函数求极限。该题是 1^∞ 型，也可先取对数再求极限。
第 6 题 分子极限是 ∞， 分母极限是 2， 方次极限是 1， 故极限是 ∞， 即不存在。

Answer 3

方法如下图所示，
请认真查看，
祝学习愉快，
学业进步！

满意请釆纳！

Answer 4

如图所示

追问

为什么直接等于0

追答