Question

一道线代题目，求证明过程？

已知α1,α2...αr线性无关,α1,α2...αr,β线性相关，证明：β可由α1,α2...αr线性表出，且表达式唯一

Answer 1

因为线性相关，所以存在不全为0的λ1…λr λ使得
λ1α1+…+λrαr+λβ=0
若λ=0
那么λ1α1+…λrαr=0，
又α1…αr线性无关，所以
λ1=…=λr=0
矛盾。
所以λ≠0
β=-1/λ（λ1α1+…+λrαr）

第二问，假设有两种不同的表示法
β=λ1α1+…+λrαr=μ1α1+…+μrαr
那么（λ1-μ1）α1+…+（λr-μr）αr=0
由于α1…αr线性无关
所以λ1=μ1……λr=μr
因此表示法唯一。证毕。

Answer 2

设有不全为零的 k1、。。。、kr、k ，
使 k1α1＋。。。＋krαr＋kβ＝0，
如果 k＝0，则由于 α1、。。、αr 线性无关，
可得 k1＝。。。＝kr＝0，
这与假设 k1、。。、kr、k 不全为零矛盾，
所以 k ≠ 0，
则 β＝ - k1/k α1 - 。。。- kr/k αr，
所以 β 可由 α1、。。。、αr 线性表出。
设 β＝∑kiαi＝∑miαi，
则 ∑(ki - mi)αi＝0，
由于 α1、。。。、αr 线性无关，
因此 ki - mi＝0(i＝1，。。。，r)，
所以表法唯一。