Question

求解下面这3道不定积分题

（1）dx/(x-1)(x²+1)=?
（2）x²/(1-x)^100dx=?
（3）dx/(1+εcosx)=?, ε是常数

Answer 1

(1)，设1/[(x-1)(x²+1)=a/(x-1)+(bx+c)。解得a=1/2、b=c=-1/2。∴原式=(1/2)ln丨(x-1)+(1/4)ln(x²+1)+(1/2)arctanx+C。
(2)题，设1-x=t，∴原式=-∫(1-2t+t²)dt/t^100=(1/99)/t^99-(2/98)/t^98-(1/97)/t^97+C,其中t=1-x。
(3)，①当ε=1时，原式=∫dx/(1+cosx)=tan(x/2)+C。②ε≠1时，【设t=tan(x/2)】∵1+εcosx=(1-ε)sin²t+(1+ε)cos²t，∴原式=∫dt/[(1+ε)+(1-ε)t²]。
∴(i)，ε>1时，原式=[(1/2)/√(ε²-1]ln丨[√(1+ε)+√(ε-1)t]/[√(1+ε)-√(ε-1)t]丨+C。
(ii)ε<1时，原式=[1/√(ab)]arctan[(b/a)t]+C，其中a=√(1+ε)，b=√(1-ε)。
供参考。