Question

一阶线性微分方程通解

Answer 1

Answer 2

先化简成标准式如下：
dy/dx+[-1/(x-2)]*y=2*(x-2)^2
因此有：
p(x)=[-1/(x-2)]
q(x)=2*(x-2)^2
代入一阶非齐次方程通解：
y=exp[-∫p(x)dx]*[∫exp(∫p(x)dx)q(x)dx+c]
=exp[-∫[-1/(x-2)]dx]*[∫exp[∫[-1/(x-2)]dx]*2(x-2)^2dx+c]
=exp[ln(x-2)][∫exp[-ln(x-2)]*2(x-2)^2dx+c]
=(x-2)[∫[1/(x-2)]*2(x-2)^2dx+c]
=(x-2)[2∫(x-2)dx+c]
=(x-2)[(x-2)^2+c]
=(x-2)^3+c(x-2)
我想这个已经够详细了吧

Answer 3

dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解。
解：此方程在现在这个状态，无法分离变量；分离不了变量，就无法求解。
最常用的方法，是先求一阶齐次方程dy/dx+P(x)y=0的通解，然后把积分常数换成x的函数u(x)，
再将带u的通解y和y'代入原式，即可求出函数u(x)；最后即可求得原方程的通解。这个过程已经程式化，很容易掌握。不存在“为什么”的问题，只是一个方法。
由dy/dx+P(x)y=0，得dy/y=-P(x)dx，积分之得lny=-∫P(x)dx+lnC₁，故y=C₁e^[-∫P(x)dx]；
将C₁换成x的某个函数u，得y=ue^[-∫P(x)dx]...........(1)
对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^[-∫P(x)dx]-ue^[-∫P(x)dx]P(x)..........(2)
将(1)和(2)代入原方程，得：
(du/dx)e^[-∫P(x)dx]-ue^[-∫P(x)dx]P(x)+ue^[-∫P(x)dx]P(x)=Q(x)
化简得(du/dx)e^[-∫P(x)dx]=Q(x)
这就可以分离变量了：
du={Q(x)e^[∫P(x)dx]}dx
积分就看求出u(x)，再代入(1)式即得原方程的通解。