一阶线性微分方程通解
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Sievers分析仪
2024-12-30 广告
是的。传统上，对于符合要求的内毒素检测，最终用户必须从标准内毒素库存瓶中构建至少一式两份三点标准曲线；必须有重复的阴性控制；每个样品和PPC必须一式两份。有了Sievers Eclipse内毒素检测仪，这些步骤可以通过使用预嵌入的内毒素标准...
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先化简成标准式如下：
dy/dx+[-1/(x-2)]*y=2*(x-2)^2
因此有：
p(x)=[-1/(x-2)]
q(x)=2*(x-2)^2
代入一阶非齐次方程通解：
y=exp[-∫p(x)dx]*[∫exp(∫p(x)dx)q(x)dx+c]
=exp[-∫[-1/(x-2)]dx]*[∫exp[∫[-1/(x-2)]dx]*2(x-2)^2dx+c]
=exp[ln(x-2)][∫exp[-ln(x-2)]*2(x-2)^2dx+c]
=(x-2)[∫[1/(x-2)]*2(x-2)^2dx+c]
=(x-2)[2∫(x-2)dx+c]
=(x-2)[(x-2)^2+c]
=(x-2)^3+c(x-2)
我想这个已经够详细了吧
dy/dx+[-1/(x-2)]*y=2*(x-2)^2
因此有：
p(x)=[-1/(x-2)]
q(x)=2*(x-2)^2
代入一阶非齐次方程通解：
y=exp[-∫p(x)dx]*[∫exp(∫p(x)dx)q(x)dx+c]
=exp[-∫[-1/(x-2)]dx]*[∫exp[∫[-1/(x-2)]dx]*2(x-2)^2dx+c]
=exp[ln(x-2)][∫exp[-ln(x-2)]*2(x-2)^2dx+c]
=(x-2)[∫[1/(x-2)]*2(x-2)^2dx+c]
=(x-2)[2∫(x-2)dx+c]
=(x-2)[(x-2)^2+c]
=(x-2)^3+c(x-2)
我想这个已经够详细了吧
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dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解。
解：此方程在现在这个状态，无法分离变量；分离不了变量，就无法求解。
最常用的方法，是先求一阶齐次方程dy/dx+P(x)y=0的通解，然后把积分常数换成x的函数u(x)，
再将带u的通解y和y'代入原式，即可求出函数u(x)；最后即可求得原方程的通解。这个过程已经程式化，很容易掌握。不存在“为什么”的问题，只是一个方法。
由dy/dx+P(x)y=0，得dy/y=-P(x)dx，积分之得lny=-∫P(x)dx+lnC₁，故y=C₁e^[-∫P(x)dx]；
将C₁换成x的某个函数u，得y=ue^[-∫P(x)dx]...........(1)
对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^[-∫P(x)dx]-ue^[-∫P(x)dx]P(x)..........(2)
将(1)和(2)代入原方程，得：
(du/dx)e^[-∫P(x)dx]-ue^[-∫P(x)dx]P(x)+ue^[-∫P(x)dx]P(x)=Q(x)
化简得(du/dx)e^[-∫P(x)dx]=Q(x)
这就可以分离变量了：
du={Q(x)e^[∫P(x)dx]}dx
积分就看求出u(x)，再代入(1)式即得原方程的通解。
解：此方程在现在这个状态，无法分离变量；分离不了变量，就无法求解。
最常用的方法，是先求一阶齐次方程dy/dx+P(x)y=0的通解，然后把积分常数换成x的函数u(x)，
再将带u的通解y和y'代入原式，即可求出函数u(x)；最后即可求得原方程的通解。这个过程已经程式化，很容易掌握。不存在“为什么”的问题，只是一个方法。
由dy/dx+P(x)y=0，得dy/y=-P(x)dx，积分之得lny=-∫P(x)dx+lnC₁，故y=C₁e^[-∫P(x)dx]；
将C₁换成x的某个函数u，得y=ue^[-∫P(x)dx]...........(1)
对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^[-∫P(x)dx]-ue^[-∫P(x)dx]P(x)..........(2)
将(1)和(2)代入原方程，得：
(du/dx)e^[-∫P(x)dx]-ue^[-∫P(x)dx]P(x)+ue^[-∫P(x)dx]P(x)=Q(x)
化简得(du/dx)e^[-∫P(x)dx]=Q(x)
这就可以分离变量了：
du={Q(x)e^[∫P(x)dx]}dx
积分就看求出u(x)，再代入(1)式即得原方程的通解。
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