Question

求解两道微分方程！！急！！

1.求微分方程y’’=(2x+1/x)y’+4x^2的通解
2.求微分方程yy’’+y’2=0满足y｜x=0，y’｜x=0=1/2的特解

Answer 1

(1). 求微分方程 y''=[(2x+1)/x]y'+4x² 的通解；
解：令y'=p，则y''=p'=dp/dx，代入原式得：dp/dx=[(2x+1)/x]p+4x²..............①
先求齐次方程 dp/dx=[(2x+1)/x]p的通解：
分离变量得：dp/p=[2+(1/x)]dx;
积分之得：lnp=2x+lnx+lnc₁=2x+ln(c₁x);
故p=y'=e^[2x+ln(c₁x)]=c₁xe^(2x)
将c₁换成x的函数u，得：p=uxe^(2x)........②，
对②取导数得：dp/dx=p'=u[e^(2x)+2xe^(2x)]+u'xe^(2x)=(u+2ux+u'x)e^(2x)..........③
将②③代入①式得：(u+2ux+u'x)e^(2x)=[2+(1/x)]uxe^(2x)+4x²
化简得：u'xe^(2x)=4x²，即有u'e^(2x)=4x，u'=du/dx=4xe^(-2x);
∴u=4∫xe^(-2x)dx=-2∫xd[e^(-2x)]=-2[xe^(-2x)-∫e^(-2x)dx]
=-2[xe^(-2x)+(1/2)∫e^(-2x)d(-2x)]=-2[xe^(-2x)+(1/2)e^(-2x)]+c=-(2x+1)e^(-2x)......④
将④代入②式得：p=dy/dx=-(2x²+x)；
∴通解 y=-∫(2x²+x)dx=-(2/3)x³-(1/2)x²+c；
(2). 求微分方程 y y''+y'²=0 满足初始条件y(0)=y'(0)=1/2的特解。
解：令y'=dy/dx=p，则y''=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy)；
代入原式得：yp(dp/dy)+p²=p[y(dp/dy)+p]=0
故有p=dy/dx=0，即有一常数解：y=c ；
再由 y(dp/dy)+p=0，得 dp/p=-dy/y；积分之得：lnp=-lny+lnc₁=ln(c₁/y)；故p=c₁/y；
即有dy/dx=c₁/y，∴ydy=c₁dx；取积分得：(1/2)y²=c₁x+c₂；
故通解 y²=2c₁x+2c₂；代入初始条件y(0)=y'(0)=1/2 得：c₂=1/8; c₁=1/4;
故满足初始条件的特解为：y²=(1/2)x+1/4；

Answer 2

Answer 3

解：∵微分方程为y"=(2x+1/x)y'+4x²
∴设y'=u，有y"=u'，
u'－(2x+1/x)u=4x²，
[ue^(–x²)/x]'=4xe^(–x²)，
ue^(–x²)/x=–2e^(–x²)+c
(c为任意常数)，
u=–2x+cxe^x²
∴得：方程的通解为
y=a–x²+0.5ce^x²
(a为任意常数)
解：∵微分方程为yy"+y'²=0
∴有y"/y'=–y'/y，ln|y'|=ln|1/y|+
ln|c|(c为任意非零常数)，
y'=c/y，2yy'=2c，方程的通解为y²=2cx+a
(a为任意常数)

Answer 4

1.y''=(2x＋1/x)y'＋4x²
令p=dy/dx，则y''=dp/dx
原方程变为dp/dx=(2x＋1/x)p＋4x² ①
其齐次方程的通解为p=Cxe^x²
将C换成u(x)，即p=u(x) xe^x²
p'=u'xe^x²＋u(2x²＋1)e^x²
代入①得
u'xe^x²=4x²
du=4x/e^x²dx
两边积分得u=－2e^(－x²) ＋C
dy/dx=[－2e^(－x²)＋C]xe^x²
=－2x＋Cxe^x²
y=－x²＋C/2 e^x² ＋C' (C'表示任意常数)
所以原方程的通解为y=C1·e^x²－x²＋C2 (C1，C2为任意常数)
2.yy''＋y'²=0
两边积分得yy'=C1
ydy=C1dx
两边积分得
1/2 y²=C1x＋C2
y²=2C1x＋2C2
所以通解为y²= C1x＋C2
2yy'= C1
C1=2×1/2×1/2=1/2
C2=(1/2)²=1/4
所以原方程所求的特解为y²=1/2 x＋1/4