Question

怎么判断【行向量组】的线性相关性？

Answer 1

定义法令向量组的线性组合为零，研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。

线性相关定理

在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立 (linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。

例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

线性无关和线性相关

1、对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。

2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。

3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

4、含有相同向量的向量组必线性相关。

Answer 2

1、首先打开matlab，在命令行窗口输入行向量a=[1 2 3 4 5 6]，如下图所示。

2、输入b=a'，将行向量a转成列向量b，如下图所示。

3、按回车键之后，可以看到行向量a变成了列向量b，如下图所示。

4、如果是带有虚数的矩阵的话，行向量转成列向量有2种，一种是 c=[1 i+1 2 3]，c'是非共轭，如下图所示。

5、如果使用c.'就是共轭了，如下图所示就完成了。

Answer 3

设x1b1+x2b2+x3b3=0,
则有
[(m-1)x1+x2-x3]a1+[3x1+(m+1)x2-(m+1)x3]a2+[x1+x2+(m-1)x3]a3=0
由于向量组a1,a2,a3线性无关
所以有关于x1,x2,x3的方程组(1)
(m-1)x1+x2-x3=0
3x1+(m+1)x2-(m+1)x3=0
x1+x2+(m-1)x3=0
若要向量组b1,b2,b3线性无关,
即方程组(1)仅有零解,
这等价于其系数行列式≠0,
解得:m≠0,±2
相反,若要向量组b1,b2,b3线性相关,
等价于其系数行列式=0
解得:m=0或者±2

Answer 4

1、定义法令向量组的线性组合为零，研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
2、向量组的相关性质
①当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；
②当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；
③通过向量组的正交性研究向量组的相关性；
④通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；
⑤通过向量组的秩研究向量组的相关性。判别向量组a1=(1,2,-1,5),a2=(2,-1,1,1),a3=(4,3,-1,11)
是否线性相关？解析：令Aa1+Ba2+Ca3=0
即A(1,2,-1,5)+B(2,-1,1,1)+C(4,3,-1,11)=(0,0,0,0)
即有：
A+2B+4C=0
2A-B-C=0
-A+B-C=0
5A+B+11C=0
若A、B、C的解不等于零，则为线性相关。