Question

与反常积分有关的数学题

Answer 1

该积分既是无穷积分又是瑕积分，x
=
0
是其瑕点。记被积函数为
f(x)，将积分分解为(0,1]
及
[1,+inf)两段。
对(0,1]
段的瑕积分，因
x^(1/2)*
f(x)→1
(x→0)，p>=1/2时，
x^(1/2)*
f(x)→0
(x→0)，p<1/2时，
据cauchy判别法，f
在
(0,1]
段的瑕积分对所有的
p
均收敛。
对[1,+inf)
段的无穷积分，因
x^p*
f(x)→1
(x→0)，
p>1/2时，
x^p*
f(x)→0
(x→0)，
0<=p<1/2时，
x^p*
f(x)→1/2
(x→0)，p=1/2时，
据cauchy判别法，f
在
[1,+inf)
段的无穷积分当
p
>1
时收敛。
综上所述，原积分当
p
>1
时收敛。

Answer 2

该积分既是无穷积分又是瑕积分，x
=
0
是其瑕点。记被积函数为
f(x)，将积分分解为(0,1]
及
[1,+inf)两段。
对(0,1]
段的瑕积分，因
x^(1/2)*
f(x)→1
(x→0)，p>=1/2时，
x^(1/2)*
f(x)→0
(x→0)，p<1/2时，
据cauchy判别法，f
在
(0,1]
段的瑕积分对所有的
p
均收敛。
对[1,+inf)
段的无穷积分，因
x^p*
f(x)→1
(x→0)，
p>1/2时，
x^p*
f(x)→0
(x→0)，
0<=p<1/2时，
x^p*
f(x)→1/2
(x→0)，p=1/2时，
据cauchy判别法，f
在
[1,+inf)
段的无穷积分当
p
>1
时收敛。
综上所述，原积分当
p
>1
时收敛。