Question

椭圆C1：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，

Answer 1

椭圆C₁：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长；(1)求C₁、C₂的方程；(2)设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线L与C₂相交于点A、B，直线MA、MB分别与C₁相交于D、E；①证明MD⊥ME；②记△MAB、△MDE的面积分别是S₁、S₂。问：是否存在直线L，使得S₁/S₂=17/32？请说明理由
解：(1)。e=c/a=√3/2，c²/a²=3/4，故a²=(4/3)c²............(1)；
令y=x²-b=0，得x²=b，x=±√b，故a=2√b；代入(1)式得4b=(4/3)c²，故b=(1/3)c²..........(2)
又a²-b²=4b-b²=c²，代入(2)式得b=(1/3)(4b-b²)，即有b²-b=b(b-1)=0，故b=1；a=2；c=√3.
于是得椭圆C₁的方程为x²/4+y²=1；曲线C₂的方程为y=x²-1.
(2)。令y=x²-1中的x=0，得y=-1，故点M的坐标为(0，-1)；M是椭圆的下顶点。
设过原点的直线L的方程为y=kx，代入C₂的方程得kx=x²-1，即有x²-kx-1=0；设A(x₁，y₁)，
B(x₂，y₂)；则x₁+x₂=k，x₁x₂=-1；y₁+y₂=k(x₁+x₂)=k²，y₁y₂=k²x₁x₂=-k²；
MA=(x₁，y₁+1)；MB=(x₂，y₂+1)；
①由于MD=λ₁MA=(λ₁x₁，λ₁(y₁+1))；ME=λ₂MB=(λ₂x₂，λ₂(y₂+1));
故MD•ME=λ₁λ₂x₁x₂+λ₁λ₂(y₁+1)(y₂+1)=λ₁λ₂[x₁x₂+y₁y₂+(y₁+y₂)+1]=λ₁λ₂(-1-k²+k²+1)=0
∴MD⊥ME.
②△MAB和△MDE都是RT三角形，
故S△MAB=S₁=(1/2)∣MA∣∣MB∣
S△MDE=S₂=(1/2)∣MD∣∣ME∣=(1/2)∣λ₁MA∣∣λ₂MB∣
S₁/S₂=1/(λ₁λ₂)=17/32，即λ₁λ₂=32/17.
λ₁=MD/MA，λ₂=ME/MB，故只要选取过原点的直线L的斜率k，使(MD/MA)(ME/MB)=32/17
就可以了。即这样的直线L是存在的。【题目没要求求出L的方程，直线判断存在就可以了】。