Question

已知三角形abc,ad是BC的中线，be交ad于e,且延长交ac于f,be=ac.求af=ef

Answer 1

在CA的延长线上取点M，使MA=BE，连接EM交AB于G
方法：
第一步：证明△AGM≌△EGB
∵∠MGA＝∠BGE
　MA＝BE
（两个三角形中如果相同度数的角对应的边也相等那么两个三角形为全等三角形）
∴△AGM≌△EGB
第二步：证明△EFM≌△AFB
由第一步证明的两个全等三角形得到下面两个结论：
1、MG＝BG，AG＝EG　∴ME＝BA
2、∠EMF＝∠ABF
又∵∠EFM＝∠AFB（在△EFMM和△AFB中这两个角就是同一个角）
∴△EFM≌△AFB
∴EF＝AF

Answer 2

附图：
证明：从D分别作DH∥BF交AC于H、DG∥AC交BF于G，得到平行四边形DGFH，∵D是BC的中点，则H、G分别是FC、BF的中点，∴DG=FH=CH=1/2FC，DH=GF=GB=1/2BF，∵△AEF∽△DEG(平行线内错角相等)，

∴AF/DG=EF/EG=EF/(GF-EF)=2EF/2(GF-EF)=2EF/(2GF-2EF)=2EF/(BF-2EF)=2EF/(BE+EF-2EF)=2EF/(BE-EF)，

∵DG=FH，FH=1/2FC，∴AF/DG=AF/FH=2AF/2FH=2AF/FC=2AF/(AC-AF)，

∵BE=AC，∴AF/DG=2EF/(AC-EF)=2AF/(AC-AF)，∴AF=EF