Question

设x1>0,Xn+1=1/2（Xn+1/Xn）（n=1,2,3....n），证明数列极限Xn n趋向无穷存在 并且求极限值

Answer 1

极限为0.5*（1+根号5）.证明：设f（x）=1+(xn-1/（1+xn-1）),对f（x）求导,得导数为正,f（x）单调递增,又f（x）=1+(xn-1/（1+xn-1）)小于2,有上界.利用单调有界定理知其极限存在.对xn=1+(xn-1/（1+xn-1）)俩边取极限,设xn的极限为a（n趋向无穷大）可得a=1+a/（1+a)
解这个方程,结果取正就可以了.

Answer 2

因为xn=1/2(x(n-1)+1/x(n-1))>=1/2*2=1
x(n+1)-xn=1/2(1/xn
-
xn)<0
所以是单调递减数列
因为xn>1
所以是单调有界数列
所以极限存在
设极限是a
那么a=1/2(a+1/a)
a=1或a=-1(因为xn为正向数列，舍去)
a=1