Question

已知：在三角形ABC中，AD为角D的平分线。求证：AB：AC=BD:DC。

Answer 1

分析1:因为∠B=2∠C,所以AC>AB,可以在AC上取一点E,使得AB=AE,构造△ABD≌△AED,把AB边转移到AE上,BD转移到DE上,要证AB+BD=AC.即可转化为证AE+BD=AE+EC,即证明BD=EC.
　　证明:在AC上取一点E,使得AB=AE,连结DE.
　　在△ABD和△AED中,AB=AE,∠BAD=∠DAE,AD=AD,
　　∴△ABD≌△AED(SAS).
　　∴
BD=DE,∠B=∠AED.
　　又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C,
　　∴
∠EDC=∠C.
　　∴
ED=EC.
　　∴
AB+BD=AC.
分析2:因为∠B=2∠C,所以AB<AC,可以在AB的延长线上取一点E,使得AE=AC,构造△AED≌△ACD,把AC边转移到AE上,DC转移到DE上,要证AB+BD=AC.即可转化为证AB+BD=AB+BE,即证明BD=BE.
　　证明:在AB的延长线上取一点E,使得AC=AE,连结DE.
在△AED和△ACD中,AE=AC,∠BAD=∠DAC,AD=AD,
　　∴
△AED≌△ACD(SAS).∴∠C=∠E.
　　又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE,
　　∴
∠E=∠BDE.∴
BE=BD.
　　∴
AB+BD=AE=AC.
分析3:若延长DB到点E,使得AB=BE,有AB+BD=ED,只要证出ED=AC即可.
　　证明:延长DB到点E,使得AB=BE,连结AE,则有∠EAB=∠E,
∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E.
　　又∠ABC=2∠C,
∴
∠E=∠C.
∴
AE=AC.
　　又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+
∠DAC=∠ADE,∴
AE=DE.
　　∴
AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC.

Answer 2

???角D??
应该
改为
“
在三角形ABC中，AD为角
A
的平分线，求证：AB/AC=BD/DC”