Question

哪位大神帮我证明一下(1+x)(ln(1+x))^2<x^2

Answer 1

很高兴能楼主解答哦，这题目有些难，仔细看一下。
（1）.将原不等式（1+x）ln²（1+x）<x²变为ln（1+x）<x/√（1+x），设f（x）=ln（1+x）-x/√（1+x），则f'（x）=-(√（1+x）-1）²/(2(1+x)√(1+x)),当x∈[0,1]时，f'（x）<0，所以f（x）在[0,1]上单调递减，当x∈（0,1）时，f（x）<f（0）=0，即ln（1+x）<x/√（1+x），所以（1+x）ln²（1+x）<x²。
（2）.设f（x）=1/ln（1+x）-1/x²，x∈（0,1），f'（x）=(（1+x）ln²（1+x）-x²)/（x²（1+x）ln²（1+x））
，由（1）结论可知：当x∈（0,1）时，f'（x）<0，f（x）在（0,1)上单调递减,所以有limf（x趋向0）<f(x)<f(1),limf（x趋向0）=lim（x趋向0）(x-ln(1+x))/x²=1/2，所以1/ln2-1<1/ln（1+x）-1/x<1/2；
希望楼主能采纳哦！