Question

什么是迭代公式？

Answer 1

迭代公式就是指用现在的值，代到一个公式里面，算出下一个值
再用下一个值代入公式，如此往复地代。
比如
x=(x+2/x)/2
你随便拿一个x=10代入，得x=(10+2/10)/2=5.1
再代进去x=(5.1+2/5.1)/2=2.746
再代入得1.737
再代得1.444
再代得1.414525655
再代得1.414213597
再代得1.414213562
*************************************
你可以再试一下，初始不用10，用任一个正数，只要计算几次都可以得到1.414213562这样的结果。
为什么初值不一样，得到的结果都是1.414213562呢？这个1.414213562又代表什么呢？
你将1.414213562平方一下就知道，这个结果为2，也就是说上面的迭代公式是用来求根号2的。
至于为什么上面的迭代公式是根号，你可以通过看一些牛顿迭代法就知道为什么了。

Answer 2

牛顿迭代法（Newton's
method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson
method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)
=
0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x)
=
0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
设r是f(x)
=
0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y
=
f(x)的切线L，L的方程为y
=
f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标
x1
=
x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y
=
f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标
x2
=
x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数
f(x)
=
f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2!
+…
取其线性部分，作为非线性方程f(x)
=
0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0
设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0)
这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。