Question

已知圆M：（x+1） 2 +y 2 =1，圆N：（x-1） 2 +y 2 =9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线

Answer 1

（1）圆M：（x+1）
2
+y
2
=1，圆N：（x-1）
2
+y
2
=9，
设动圆P半径为R．
∵M在N内，∴动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R＜3
动圆P与圆M外切，则PM=1+R，
动圆P与圆N内切，则PN=3-R，
∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值．
∴P是以M、N为焦点的椭圆．
∵MN的中点为原点，故椭圆中心在原点，
∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，
∴b
2
=a
2
-c
2
=4-1=3，
∴C的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
（x≠2）；
（2）证明：联立
x
2
4
+
y
2
3
=1
y=kx+m
，得（k
2
+3）x
2
+2kmx+m
2
-12=0．
设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），
x
1
+
x
2
=-
2km
k
2
+3
，
x
1
x
2
=
m
2
-12
k
2
+3
，
y
1
y
2
=（kx
1
+m）（kx
2
+m）
=
k
2
x
1
x
2
+km(
x
1
+
x
2
)+
m
2
=
k
2
?
m
2
-12
k
2
+3
+km?(-
2km
k
2
+3
)+
m
2
=
3
m
2
-12
k
2
k
2
+3
．
设右顶点S（2，0），
则
SA
=(
x
1
-2，
y
1
)，
SB
=(
x
2
-2，
y
2
)
，
又以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，
∴
SA
?
SB
=0
，
即（x
1
-2）（x
2
-2）+y
1
y
2
=0，x
1
x
2
-2（x
1
+x
2
）+4+y
1
y
2
=0．
∴
m
2
-12
k
2
+3
-2?(-
2km
k
2
+3
)+4+
3
m
2
-12
k
2
k
2
+3
=0
，
整理得：（m-k）（m+2k）=0，
∴k=m或k=-
m
2
．
当k=m时，直线l为y=mx+m=m（x+1），直线过定点（-1，0）；
当k=-
m
2
，直线l为
y=-
m
2
x+m=m(-
x
2
+1)
，直线过定点（2，0），不合题意．
∴直线l过定点（-1，0）．