Question

求解这道初中几何题

如图，AB=AC, CD平分角ACB, O为三角形ABC外心，OP垂直于EP, PE//CD
求证：AP=DE

Answer 1

Answer 2

几周过去了，仍未见综合法证明。我用解析法试证。

作AH⊥BC于H,分别以HC,HA为x,y轴建立直角坐标系。设B(-1,0),C(1,0),tan∠BCD=k∈(0,1),

由倍角正切公式，AH=tan2∠BCD=2k/(1-k^2).

所以A(0,2k/(1-k^2)).

设外心O(0,b),由OC=OA得b^2+1=[2k/(1-k^2)-b]^2,

解得b=(-1+6k^2-k^4)/[4k(1-k^2)].

OP⊥PE,PE∥CD,

所以OP⊥CD.CD的斜率是-k,

所以OP的斜率是1/k,

OP的方程是y=x/k.+b①

AC的方程是y=-2k(x-1)/(1-k^2).②

由①②解得xP=(1+k^2)/4,

yP=(3k-k^3)/[2(1-k^2)]..

由CD:y=-k(x-1),③

与AB:y=2k(x+1)/(1-k^2).④

解得xD=(-3+k^2)./(1+k^2)

由PE:y-(3k-k^3)/[2(1-k^2)]=-k[x-(1+k^2)/4]与④解得

xE=(-3+k^2)/4.

所以xE-xD=(-3+k^2)^2/[4(1+k^2)],

xP-xA=(1+k^2)/4.

AP=DE,<==>xP-xA=xE-xD,<==>(-3+k^2)^2=(1+k^2)^2,

<==>3-k^2=1+k^2,<==>k^2=1,<==>k=1,矛盾。

题目似乎有误。

请帮助检验。

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