一道积分题:∫1/(1+x^2)^2 dx
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记In＝∫1/(1+x^2)^n
dx
那么In=
∫1/(1+x^2)^n
dx=x/(1+x^2)^n-∫xd(1/(1+x^2)^n)
=x/(1+x^2)^n+2n∫x^2/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n∫1/(1+x^2)^ndx-2n∫1/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n*In－2nIn+1
最终有
In+1=(2n-1)/2n*In+1/2n*x/(1+x^2)^n
显然I1＝arctan(x)+c
那么I2＝1/2*(x/(1+x^2)+arctan(x))+c
其余可以利用递推公式依次计算。
dx
那么In=
∫1/(1+x^2)^n
dx=x/(1+x^2)^n-∫xd(1/(1+x^2)^n)
=x/(1+x^2)^n+2n∫x^2/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n∫1/(1+x^2)^ndx-2n∫1/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n*In－2nIn+1
最终有
In+1=(2n-1)/2n*In+1/2n*x/(1+x^2)^n
显然I1＝arctan(x)+c
那么I2＝1/2*(x/(1+x^2)+arctan(x))+c
其余可以利用递推公式依次计算。
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