Question

高数 第一类间断点 第二类间断点分别是什么意思

Answer 1

可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。（图二）
无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。
可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。
由上述对各种间断点的描述可知，函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。

Answer 2

楼上的错误太低级，函数可导只能推出连续，不可能推出导函数也连续。
如果函数f(x)在某开区间上可导，那么其导函数在这个区间上没有跳跃型间断点，这是由导函数的介值性质(即darboux定理)得到的。
假定x0是f'(x)的跳跃型间断点，比如a=f'(x0-)<f'(x0+)=b，
取x0充分小的邻域(x0-d,x0+d)，使得当0<t<d时总有f'(x0-t)<(b+2a)/3
<
(a+2b)/3
<
f'(x0+t)，
这样在x0的局部f'(x)将不可能取到(a+b)/2附近的值，和darboux定理矛盾。
当然，对于导函数的间断点，最好讲得严谨一些，不然是可以找出跳跃间断点的例子的。
比如说，|x|的导函数，虽然x=0处不可导，但如果不讲清楚的话在讨论导函数的时候可以认为x=0是一个跳跃间断点。