Question

dy/dx=y/(x+y^2) 求微分通解

Answer 1

先令
x+y^2=t，两边求导
1+2yy‘=t'，
y’=(t'-1)/(2y)，代入原式得
(t'-1)/(2y)=y/t,
t
(t'-1)=2y^2
y^2=t-x,代入上式得
t
(t'-1)=2(
t-x)，化简
t'=3-2x/t，
再令t/x=v，则t=xv，
t'=v+xv'=3-2/v
，
现在可以用变量分离法求了
-dx/x=v/((v-2)(v-1))dv，
两边积分得
ln|1/x|+c=ln|(v-2)^2/(v-1)|，
即c/x=
(v-2)^2/(v-1)，
将v=t/x=
(x+y^2)/x=1+y^2/x代入上式得
cy^2=(y^2-x)^2，
即cy=y^2-x,
x=y^2+cy是个隐函数，
想知道对不对，可代入原方程进行验证

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示