Question

ln（1+X）为什么＜X？？求证明过程~~

Answer 1

f(x)=ln(1+x)-x
f'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x)
定义域1+x>0
x>-1
即f'(x)分母大于0
所以-1
0，增函数
x>0,f'(x)<0.减函数
所以x=0有极大值，也是最大值
f(0)=0
所以f(x)<=0
所以ln(1+x)<=x
这里可以取等号，即x=0时

Answer 2

ln(1+x)和x比较大小,在定义域为R上
y=ln(1+x)的定义域为1+x>0,即x>-1；y=x定义域是R；因此只能在(-1,+∞)比较.
y'=1/(1+x),故y'(0)=1；即y=ln(1+x)在(0,0)处的切线与直线y=x重合；而当x≠0时曲线y=ln(1+x)都
在直线y=x的下面.故可断言：x=0时ln(1+x)=x；当x≠0时恒有x>ln(1+x).

Answer 3

这个结论在x>-1且x≠0时成立
作y=ln(1+x)-x,定义域为(-1,+∞)
则y'=1/(1+x)-1=-x/(x+1)
令y'=0,解得x=0
∵x>-1,∴x+1>0,∴当-1
0;当x>0时,y'<0
∴y在定义域上先增後减
∴当x=0时,y有最大值,最大值为ln1=0
即y=ln(1+x)-x≤0恒成立,当且仅当x=0时取等号
∴在x≠0时,恒有ln(1+x)
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