Question

在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

Answer 1

1、连结OD，由于点O、D分别是AC、PC的中点则，OD‖PA
∴∠ODB即为异面直线PA与BD所成角，OD=PA/2
设PA=1，则AB=BC=k=1，OD=1/2
∵AB⊥BC，AB=BC，OP⊥底面ABC，D是PC的中点
∴OB⊥面PAC
∴OB⊥OD
又AC=√(AB^2+BC^2)=k√2=√2
∴OB=OC=k√2/2=√2/2
∴BD=√(OB^2+OD^2)=√(k²/2+1/4)=√3/2
∴cos∠ODB=OD/BD=√3/3
2、在面PAC上作OE⊥PC于点E，由于OB⊥面PAC，则∠OEB即为二面角O－PC－B的平面角
PC=PA=1，AB=BC=k，OB=OC=k√2/2
OP=√(PC^2-OC^2)=√(1-k²/2)
∵OP*OC=PC*OE
∴OE=OP*OC=OP*OB
cot∠OEB=OE/OB=OP=√(1-k²/2)=cot(π/3)=√3/3
k=2√3/3