Question

二重积分与定积分有哪些相同和不同之处？

Answer 1

二重积分是定积分概念的推广，因此，两者有许多相同之处．从定义上看，二重积分也表示为和式极限，该极限也是通过“分割、近似代替、求和、取极限”而得到的．因而，其结果是一个数，这个数只与被积函数
及积分区域
有关，而与
的分法和点
的取法无关．二重积分还与定积分有相似的几何意义及性质．
二重积分与定积分的不同之处是，定积分的被积函数是一元函数，积分区域是区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分区域是平面区域．在定积分定义中，用小区间的长度的最大者来刻画分割的精细程度；在二重积分的定义中，用小区域的最大直径来刻画分割的精细程度，而不用小区域的面积最大者来刻画，这是因为小区间
的长度
越小，窄矩形面积
与以
为底边，
为曲边的窄曲边梯形面积的近似程度就越高．但在平面上，小区域的面积
越小，却不能保证小平顶柱体体积
与以此小区域为底面，
为曲顶的小曲顶柱体体积的近似程度就越高．如小区域是非常窄的小长条，面积
虽小，但在其上任取一点
，
与对应的小曲顶柱体的体积差异可能会很大，而且随着长条变窄，
变小，这种差异可能不会改变．此外，在定积分定义中，
可正可负，因而定积分的下限可小于也可大于上限；而在二重积分定义中，
表示面积，只能为正，因此，将其化为累次积分时，每个定积分的下限都必须小于上限．

Answer 2

基本性质完全类似，总体来讲，大概有7条：
线性性质，
可加性，
平面区域的面积（空间区域的体积），
单调性，
估值性质，
中值定理，
奇偶对称性。

Answer 3

一、相同之处

二重积分作为定积分的推广，其二者有着共同的解题技巧，包括利用几何意义、对称性、换元法来简化定积分与二重积分的计算。

二、不同之处

1、概念不同

定积分：积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

二重积分：二元函数在空间上的积分，是某种特定形式的和的极限，本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。2、几何意义不同

定积分：表示平面图形的面积。

二重积分的几何意义：表示曲顶柱体体积。

扩展资料

定积分的计算一般思路与步骤

1、分析积分区间是否关于原点对称，即为[-a,a]，如果是，则考虑被积函数的整体或者经过加减拆项后的部分是否具有奇偶性，如果有，则考虑使用“偶倍奇零”性质简化定积分计算。

2、考虑被积函数是否具有周期性，如果是周期函数，考虑积分区间的长度是否为周期的整数倍，如果是，则利用周期函数的定积分在任一周期长度的区间上的定积分相等的结论简化积分计算。

3、考察被积函数是否可以转换为“反对幂指三”五类基本函数中两个类型函数的乘积，或者是否包含有正整数n参数，或者包含有抽象函数的导数乘项，如果是，可考虑使用定积分的分部积分法计算定积分。

4、考察被积函数是否包含有特定结构的函数，比如根号下有平方和、或者平方差（或者可以转换为两项的平和或差的结构），是否有一次根式，对于有理式是否分母次数比分子次数高2次以上；是否包含有指数函数或对数函数，对于具有这样结构的积分，考虑使用三角代换、根式代换、倒代换或指数、对数代换等。

换元的函数一般选取严格单调函数；与不定积分不同的是，在变量换元后，定积分的上下限必须转换为新的积分变量的范围，依据为：上限对上限、下限对下限；并且换元后直接计算出关于新变量的定积分即为最终结果，不再需要逆变换换元。