变积分上限函数求导公式是什么

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展瀚海麴彦
2020-05-11 · TA获得超过3万个赞
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d[∫(0,x)
t*f(2x-t)dt]/dx
=
[∫(0,x+δx)
t*f(2x+2δx-t)dt
-
∫(0,x)
t*f(2x-t)dt]/δx
=
{∫(0,x)
t*[f(2x+2δx-t)-f(2x-t)]dt}/δx
+
[∫(x,x+δx)
t*f(2x+2δx-t)dt]/δx
而因为[f(2x+2δx-t)-f(2x-t)]/δx
=
2f'(2x-t)
{∫(0,x)
t*[f(2x+2δx-t)-f(2x-t)]dt}/δx
=∫(0,x)
2t*f'(2x-t)dt
令g(t)=
t*f(2x+2δx-t),记g(t)的原函数为g(t)
则[∫(x,x+δx)
t*f(2x+2δx-t)dt]/δx
=
[g(x+δx)-g(x)]/δx
=
g'(x)
=
g(x)
=
xf(x)(δx为无穷小
原式=∫(0,x)
2t*f'(2x-t)dt
+
xf(x)
不能看做复合函数,因为运用复合函数求导公式时,复合函数的某个自变量必须在一个函数内。
如f[g(x)],对x的导数是f'[g(x)]*g'(x)
而自变量不在同一个函数里的,如f[g(x),x]这时候就不能用复合函数求导公式,即f[g(x),x]的导数不等于f'[g(x)]*g'(x)。
若把原式看做复合函数,
令∫g(x)dx
(上限s,下限t)=
h[g(x),s,t]
则∫t*f(2x-t)dt(上限x,下限0)=
h[t*f(2x-t),x,0],自变量x不在同一个函数内。
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