Question

解微分方程时1/x积分

为什么解微分方程时1/x积分有时候加绝对值有时候不加绝对值?

Answer 1

为什么解微分方程时1/x积分有时候加绝对值有时候不加绝对值?
解:当x>0时，由于d(lnx)/dx=1/x，∴∫(1/x)dx=∫d(lnx)=lnx+C;(x>0).............(1)
当x<0时，由于d[ln(-x)]/dx=
(-x)′/(-x)=-1/(-x)=1/x，∴∫(1/x)dx=∫dln(-x)=ln(-x)+C;(x<0)
因此不论x>0或x<0，我们有统一的公式:∫(1/x)dx=ln︱x︱+C;(x>0或x<0)
由于函数lnx的定义域就是x>0，当x<0时用公式(1)自然要取x的绝对值，即用(-x)代入。所以在求
不定积分和求微分方程的通解时，为了解化运算，常常把绝对值符号省去不写，只是在求定积分
时，因为必须求出值来，才加上绝对值符号。
例1。求微分方程(x²+y²)dx-xydy=0的通解
解:由原式得dy/dx=(x/y)+(y/x)..............................(1)
令y/x=u，则y=ux，于是dy/dx=u+x(du/dx)，代入(1)式得:
u+x(du/dx)=(1/u)+u，即有x(du/dx)=1/u，分离变量得udu=(1/x)dx，积分之得:
u²/2=lnx+C₁，u²=2lnx+2C₁，将u=y/x代入即得通解:y²=x²(2lnx+C)
在这里按惯例，不加绝对值符号，但把通解写成y²=x²(2ln︱x︱+C)可不可以?当然可以，而且很
好，只是给作题人添麻烦了!
例2。求微分方程(x³+y³)dx-3xy²dy=0的通解
解:dy/dx=(x³+y³)/3xy²=(1/3)[(x/y)²+(y/x)]...............(1)
令y/x=u，则y=ux，dy/dx=u+x(du/dx)，代入(1)式得u+x(du/dx)=(1/3)[(1/u²)+u]
即有2u+3x(du/dx)=1/u²，1/u²-2u=3x(du/dx)，(1-2u³)/u²=3x(du/dx)，分离变量得:
u²du/(1-2u³)=dx/3x，即-(1/6)d(1-2u³)/(1-2u³)=dx/3x，积分之得:
-(1/6)ln(1-2u³)=(1/3)[lnx+ln(1/C₁)=(1/3)ln(x/C₁)
即有ln(1-2u³)=-2ln(x/C₁)=ln[(x/C₁)^(-2)]=ln[C²₁/x²]，即有1-2u³=C²₁/x²
将u=y/x代入得通解:1-2(y/x)³=C/x²，或写成:y³=(1/2)(x³-Cx).
例3。求定积分[-e，e²]∫(1/x)dx=[ln︱x︱]
[-e，e²]=2-1=1.