Question

设椭圆方程为X^2+Y^2/4=1.过点M(0.1)的直线L交椭圆于点A,B两点,O为坐标原点,P满足OP向量=1/2(OA向量+OB向

Answer 1

设ab所在直线的斜率为k,a(xa,ya),b(xb,yb),p(xp,yp)
①xp=(xa+xb)/2
②yp=(ya+yb)/2
③xa^2+ya^2/4=1
④xb^2+yb^2/4=1
③-④化简,并有①,②代入可得xp/yp=-k/4(过程略)
⑤yp=-4*xp/k
又⑥yp=k*xp+1(p是ab中点,一定落在直线上)
⑤*(⑥-1)=-4*xp^2,化简得;
x^2/(1/16)+(y-1/2)^2/(1/4)=1
当k=0时,p(0,1),等式成立
当k不存在时,p(0,0),等式成立
.........
np所在椭圆的中心,np向量的模的最小值与最大值分别是该椭圆的半短轴与半长轴。

Answer 2

(1).解：
直线L过M(0,1)
当直线L⊥x轴时：OA+OB=0，则OP=0，则P点为原点(0,0)
当直线L不垂直x轴时：设L斜率为k，则直线L方程为：y=kx+1
联立椭圆4x²+y²=4和直线y=kx+1，得：
4x²+k²x²+1+2kx=4，即(k²+4)x²+2kx-3=0
则x1+x2=-2k/(k²+4)
则y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k(x1+x2)+2=-2k²/(k²+4)+2=8/(k²+4)
OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，则OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=(-2k/(k²+4),8/(k²+4))
则OP=1/2(OA+OB)=(-k/(k²+4),4/(k²+4))
即P点坐标为(-k/(k²+4),4/(k²+4))
令x=-k/(k²+4)，y=4/(k²+4)
............(思路：利用x/y=-k/4，x/(y-1)=1/k求解此参数方程，当然这里忽略了y=0和y=1，不过将前面的除法变成乘法就可以避免这个问题，之所以没有变，是为了让你了解如何解此参数方程，此过程不必写在解题过程中)
得：4x²+y²-y=0，即x²/(1/4)²+(y-1/2)²/(1/2)²=1
此方程为中心在(0,1/2)，长轴为1，短轴为1/2，交点在y轴的椭圆
动点P的轨迹方程为x²/(1/4)²+(y-1/2)²/(1/2)²=1
...........(此处判断不出椭圆也没关系，答案写4x²+y²-y=0依然算解答完毕)
(2).解：P点轨迹的参数方程为：x=1/4cosθ，y=1/2+1/2sinθ
则|PN|²=(x-1/2)²+(y-1/2)²
=(1/4cosθ-1/2)²+(1/2sinθ)²
=1/16cos²θ+1/4-1/4cosθ+1/4-1/4cos²θ
..........此处利用了sin²θ=1-cos²θ
=-3/16cos²θ-1/4cosθ+1/2
=-3/16(cos²θ+4/3cosθ)+1/2
=-3/16(cosθ+2/3)²+7/12
∵cosθ∈[-1,1]
则cosθ+2/3∈[-1/3,5/3]
则(cosθ+2/3)²∈[0,25/9]
则-3/16(cosθ+2/3)²∈[-25/48,0]
则-3/16(cosθ+2/3)²+7/12∈[1/16,7/12]
即|PN|²∈[1/16,7/12]
则|PN|∈[1/4,√21/6]
即|NP|的最大值为√21/6，最小值为1/4

Answer 3

1)设A,B点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则P的坐标为(x,y)。x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2设直线I的方程为y=kx+1则把A,B坐标带入椭圆方程得x1^2+y1^2/4=1;
x2^2+y2^2/4=1两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)/4=0将A,B坐标带入直线方程得y1=kx1+1;
y2=kx2+1两式相减得y1-y2=k(x1-x2)
带入上式得(x1-x2)[(x1+x2)+(y1+y2)k/4]=0注意M点在椭圆里面因为椭圆于Y轴的交点为(0,-2)和(0,2)所以x1-x2不能为0即由上式可得(x1+x2)+(y1+y2)k/4=0;另外将y1=kx1+1
y2=kx2+1两式相加得y1+y2=k(x1+x2)+2得出k=(y1+y2-2)/(x1+x2)带入上式并整理得(x1+x2)^2+(y1+y2)^2/4=1/2即4x^2+y^2=1/2。即x^2+y^2/4=1/8为所求轨迹