Question

m(m+2)=n(n+1)

m,n是正整数,（1）是否满足m(m+2)=n(n+1)?（2）是否满足m(m+k)=n(n+1) (k≥3）

Answer 1

1、
由已知等式得：
(m²-n²)+(m-n)=-m
(m+n)(m-n)+(m-n)=-m
(m+n+1)(m-n)=-m
(m+n+1)(n-m)=m
由于m、n都是正整数,所以由上式知：(n-m)≥1,即：n≥m+1,
所以：m=(m+n+1)(n-m)≥m+n+1,
可得：n+1≤0,显然不成立；
所以满足m(m+2)=n(n+1)的正整数解不存在；
2、
同理可得：(m+n+1)(n-m)=(k-1)m,··········①
由于k≥3,所以可得：n-m>0,即：n>m,n/m>1,
则有：n/m=(m+k)/(n+1)>1,
所以：m+k>n+1,
因此：m