Question

一道 数学证明题

Answer 1

利用四点共圆(在圆内,主要由角相等或互补得到共线)
例2
、如图,以锐角ΔABC的一边BC为直径作⊙O,过点A作⊙O的两条切线,切点为M、N,点H是ΔABC的垂心.求证:M、H、N三点共线。(96中国奥数)
证明:射线AH交BC于D,显然AD为高。
记AB与⊙O的交点为E,易知C、H、E三点共线。
联结OM、ON、DM、DN、MH、NH,
易知
,
∴A、M、O、D、N五点共圆,更有A、M、D、N四点共圆,
此时,
因为
(B、D、H、E四点共圆),
即
;又
,所以
,故
同理,
。
因为
,所以,M、H、N三点共线。
3、利用面积法
如果
,点E、F位于直线MN的异侧,则直线MN平分线段EF,即M、N与EF的中点三点共线。
例3
、如图,延长凸四边形ABCD的边AB、DC交于点E,延长边AD、BC交于点F,又
M、N、L分别是AC、BD、EF的中点,求证:M、N、L三点共线。
证明:设BC的中点为O,辅助线如图所示,
由
可知,
点O必在
内,此时,
同理,
。
因此
。此时,直线MN平分EF,即M、N、L三点共线。
注:利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。
4、利用同一法
尽管同一法是一种间接证法,但它却是一各很有用的证法,观察例4后,你会感到,同一法在证明三点共线问题时,也有其用武之地。
例4
、如图4(a),凸四边形ABCD的四边皆与⊙O相切,切点分别为P、M、Q、N,设PQ与
MN交于S,证明:A、S、C三点共线。
证明:如图4(b),令PQ与AC交于
,
易证
互补。
而
,则
,
故
。再令MN与AC交于
。同理可得
但
,所以
。利用合比性质得,
。
因此,
,可断定
与
必重合于点S,故A、S、C三点共线。
注:观察本题图形,显然还可证得B、S、D三点共线;换言之,AC、BD、PQ、MN四线共点。
5、利用位似形的性质
如果
与
是两个位似三角形,点O为位似中心,那么不仅A、
、O;B、
、O;C、
、O分别三点共线,而且
、
的两个对应点与位似中心O也三点共线,位似形的这种性质,对于证明三点共线,颇为有用。
例5、如图,
内部的三个等圆⊙
、⊙
、⊙
两两相交且都经过点P,其中每两个圆都与
的一边相切,已知O、I分别是
的外心、内心,证明:I、P、O三点共线。
证明:联结
、
、
。由已知得
、
、
。
可断定
与
是一对位似三角形,
且易知
的内心I是两者的位似中心。
因为⊙
、⊙
、⊙
为等圆,
即
,
所以点P是
的外心。又点O是
的外心,故P、O两点是两个位似三角形的对应点,利用位似形的性质,即得I、P、O三点共线。
6、
利用反证法
有的几何题利用直接证法很难,而用反证法却能很快达到预期目的。
例6、如图,梯形ABCD中、DC//AB,对形内的三点
、
、
,如果到四边距离之和皆相等,那么,
、
、
三点共线,试证之。
证明:先看
两点,
设直线
分别交AD、BC于M
、N,
于
,
于
,
于
,
于
。
因为DC//AB,则点
到AB、CD的距离之和等于点
到AB、CD的距离之和。由已知可得
。过点
作AD的平行线、过点
作BC的平行线得交点P(由于AD与BC不平行)。记
交
于G,
交
于H。
观察上式有
。所以,
。
因为
有两条高
,所以,
是等腰三角形,则
。
故
。
再用反证法证明点
一定在
上:假设点
不在
上,联结
并延长分别交AD、BC于
,易知点
在MN的异侧;因为点
到AD、BC的距离之和等于点
到AD、BC的距离之和,由上述证明过程知必有
。
事实上,观察图形只能得到
,矛盾,这说明点
必在
上,即MN上,因此
、
、
三点共线。

Answer 2

证明：由∠AFE=∠ACD=90°
∠EAF=∠CAD(同角）
则可得
三角形AEF相似于
三角形ADC
得AF/AC=AE/AD
得
AE*AC=AF*AD
因为BC=CD
AC垂直BD
所以得AB=AD
又BE是等腰三角形ABC的角平分线
且AF垂直AD
则三角形ABD为等边三角形
则∠BAF=60°
∠FBA=30°
所以AF=1/2AB（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半）
因为AB=AD(等边三角形三边相等）所以
AD=2AF
所以AE*AC=AF*（2AF)
所以得：AE*AC=2（AF的平方）

Answer 3

先证ln(X+1)>X/(X+1）
令函数f(X)=ln(X+1)-X/(X+1)
（X>0）
求其导函数得f`(X)=1/(X+1)-1/（X+1)*2=X/(X+1)*2>0,故函数在X>0范围内为增函数
（如果楼主还没学导函数，可以用数学归纳法或者函数单调性定义来证明，即设X1>X2证f(x1)>f(X2）)
又1/n>0，故代入得ln(1/n+1)>（1/n)/(1/n+1)可化为ln((1+n)/n)>1/(n+1)即为ln(n+1）-ln
n>1/(n+1)
则ln
n-ln(n-1)>1/n

......

ln2-ln1>1/2

累加得ln(n+1)-ln1>1/(n+1)+1/n+1/(n-1)+......+1/2

即为ln(n+1)>1/(n+1)+1/n+......+1/2

Answer 4

构造函数f(x)=ln(1+t)-t,t>0.
那么f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0
g'(t)=1/(1+t)-1/(1+t)^2=t/(1+t)^2>0
因此当t>0时，
f(t)单调减少
但f(0)=0,
因此当t>0时，
f(t)<0,
现在如果x>0,
t=1/x,
那么f(t)=f(1/x)=ln(1+1/x)-1/x=ln[(x+1)/x]-1/x<0
ln[(x+1)/x]<1/x
ln[1(+1/n)=ln(n+1)-lnn<1/n
F（n）=1+1/2+1/3+
…+1/n
G(n)=ln(n+1)
F(1)=1＞G(n)
当n≥2
F（n）-F（n-1)=1/n
G（n）-G（n-1)=ln(n+1)
F（n）-F（n-1)＞G（n）-G（n-1)
F（n）＞G（n）-G（n-1)+F（n）
则F（n）＞G（n）
1+1/2+1/3+
…+1/n
>
ln(n+1)

Answer 5

证明：因为a,b属于R+，且a不等于b，所以a+b>2根号ab即
2根号ab/（a+b)<1
不等式两边同乘以根号ab，得
2ab/a+b<根号ab
原题得证