Question

若n阶矩阵A可逆，则A.( ) A必有n不同特征值 B必有n个线性无关的特征向量 C 必相似于一可逆的...

Answer 1

①选项a和b．假设a＝
?2
1
1
0
2
0
?4
1
3
，容易求得a的特征值为λ1=-1，λ2=λ3=2
且，属于λ1=-1的一个特征向量为
1
0
1
；属于λ1=-1，λ2=λ3=2的两个线性无关的特征向量为
1
4
0
和
1
0
4
∴存在可逆矩阵p＝
1
1
1
0
4
0
1
0
4
，使得p?1ap＝
?1
0
0
0
2
0
0
0
2
而a只有两个不同的特征值，a也不是对称矩阵
故a和b错误；
②选项c．教材上的定理“据n阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件为矩阵有n个线性无关的特征向量”
故c正确．
③选项d．假设a＝
0
0
0
0
，容易求得a的特征值λ1=λ2=0，特征向量可以是2个任意线性无关的二维向量，如
1
0
和
0
1
这样也存在可逆矩阵p=e2，使得p?1ap＝
0
0
0
0
而r（a）=0
故d错误；
故选：c

Answer 2

D
正确.
A可逆,
则
|A|≠0
而
|A|
等于
A
的全部特征值的乘积
所以
A
的特征值都不等于0
而
A,B,C
都是说
A
可对角化,
但A可逆不一定可对角化.