Question

【选修4--5;不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明:(Ⅰ)...

【选修4--5;不等式选讲】 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明: (Ⅰ)ab+bc+ca≤13 (Ⅱ)a2b+b2c+c2a≥1.

Answer 1

解答:证明:(Ⅰ)由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得:
a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
由题设得(a+b+c)2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，
所以3(ab+bc+ca)≤1，即ab+bc+ca≤
1
3
.
(Ⅱ)因为
a2
b
+b≥2a，
b2
c
+c≥2b，
c2
a
+a≥2c，
故
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
+(a+b+c)≥2(a+b+c)，即
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥a+b+c.
所以
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥1.