Question

求∫e^(-x^2) dx积分

今天碰到一个正态分布的问题,以前学过的,不过现在都忘记了,想问问大家,积分 ∫e^(-x^2) dx是多少?谢谢告诉我,希望有过程...

Answer 1

∫e^(-x^2) dx积分=√π/2。

记I=∫e^(-x^2) dx，那么同理 I=∫e^(-y^2) dy，两者相乘得到I^2=∫e^(-x^2) ∫e^(-y^2) dxdy。

这在极坐标下相当于对一个半径为+∞的，在第一象限的扇形进行积分，也就是∫（0，π/2）dθ∫（0，+∞）e^(-r^2) rdr。容易解得这个积分的结果为π/4，那么相应的就有I^2=π/4，I=√π/2。

性质：

积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。

Answer 2

好像有个分部积分法是这样的
：
∫f(x)
d
g(x)=f(x).g(x)-∫g(x)
d
f(x)
根据这个公式有
∫e^(x^2)dx
=x*e^(x^2)-∫x
d(
e^(x^2))
=x*e^(x^2)-∫x
d(
e^(x^2))
=x*e^(x^2)-∫
d((1/2)x^2*e^(x^2))
=x*e^(x^2)-(x*e^(x^2)+x^3*e^(x^2))
=-x^3*e^(x^2)