Question

设函数f（x）=lnx-ax，（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，e]内...

设函数f（x）=lnx-ax， （Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，e]内的最大值； （Ⅱ）当a=-1时，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．

Answer 1

解：（1）f′(x)=1x-a=1-axx， x＞0．
令f'（x）=0得x=1a．
∵x∈(0，1a)时，f'（x）＞0，x∈(1a，+∞)时，f'（x）＜0，
∴f（x）在(0，1a)递增，在(1a，+∞)递减．
①当0＜1a≤1即a≥1时，f（x）在[1，e]上递减，
∴x=1时f（x）取最大值f（1）=-a．
②当1＜1a＜e即1e＜a＜1时，f（x）在(1，1a)递增，在(1a，e)递减，
∴x=1a时，f（x）取最大值f(1a)=-lna-1．
③当1a≥e即0＜a≤1e时，f（x）在（1，e）递增，
∴x=e时f（x）取最大值f（e）=1-ae．
（2）∵方程2mf（x）=x2有唯一实数解，即x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x2-2mlnx-2mx，则g′(x)=2x2-2mx-2mx．
令g'（x）=0，x2-mx-m=0．
∵m＞0，x＞0，
∴x1=m-m2+4m2＜0（舍去），x2=m+m2+4m2．
当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上单调递增．
∴g（x）最小值为g（x2）．
则g(x2)=0g′(x2)=0，即x22-2mlnx2-2mx2=0x22-mx2-m=0
∴2mlnx2+mx2-m=0即2lnx2+x2-1=0．
设h（x）=2lnx+x-1（x＞0），h′(x)=2x+1＞0恒成立，
故h（x）在（0，+∞）单调递增，h（x）=0至多有一解．
又h（1）=0，∴x2=1，即m+m2+4m2=1，解得m=12．