Question

∫(1,2)f²(x)dx≤1/81002∫(1,2)f²(x)dx≤1/8 - 百度

设f(x)在［1,2］上连续,证明(∫(2,1)f(x)dx²≦∫(2,1)f²(x)dx

Answer 1

这是柯西不等式的积分形式
可用二次函数证
区间省略 显然有 0≦∫[ t + f(x) ]²dx
又 ∫[ t + f(x) ]²dx = ∫t²+2 tf(x) +f(x)²dx =t²+2t∫f(x)dx+∫f(x)²dx
所以t²+2t∫f(x)dx+∫f(x)²dx ≥0
所以⊿≤0,即∫f(x)dx²≦∫f²(x)dx
命题得证