Question

二项式定理知识点

Answer 1

二项式定理展开的特点
项数：共有n+1项；
系数：依次为组合数Cn，Cn，Cn，Cn，…，Cn；
每一项的次数都是一样的，即为n次，展开式以a的降次幂排列，b的升次幂排列展开。
二项式定理的性质
二项式定理的系数具有对称性。在二项式展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；将它们绘成图像f(x)，图像关于x=n/2对称，即x=n/2为图像f(x)的对称轴；
二项式展开的中间项是二项式系数的最大值。当n为偶数时，中间项是第n/2+1项最大；当n为奇数时，中间项为两项，即为第（n+1）/2项和第（n+1）/2+1项的系数最大；
Cn+Cn+Cn+…+Cn=2，这也是（1+1）^2用二项式展开所得，同时偶次幂系数相加等于奇次幂系数相加=2^（n-1）；
二项式定理系数项的增减性
令（n-k+1）/k＞1得出k＜(n+1)/2，也就是说当k为二项式前半部分时，二项式的系数是递增的，反过来当k为二项式后面的数时二项式的系数是增减的，这也是二项式系数取中间项为最大项的原因。
二项式定理的拓展
（a+b+c）^n也可以运用二项式定理来计算其中的某个项的系数。
先将a+b看成一个整体，然后根据二项式定理展开，在将（a+b）的几次幂用二项式展开，也就是运用了两次二项式展开的过程。
二项式定理是由（a+b）^2，（a+b）^3，（a+b）^4等展开式归纳猜想而来，并由排列组合的方法证明了这一归纳。