Question

求长方形面积必须知道它的长和宽吗?

Answer 1

求长方形的面积必须知道它的长和宽吗
——谈充分条件、必要条件和充要条件
◇沈徐建 朱乐平
大家都知道,长方形的面积等于长乘宽,用字母可以表示为S＝ab.笔者在听课中发现,有些老师在引导学生得出这个长方形面积公式之后,提醒学生说：“要求出一个长方形的面积,那么就必须知道它的长和宽.”这样的表达其实是错误的.如果我们能弄清四种命题的关系以及充分条件、必要条件和充要条件的含义,就能找到错误的原因.
从结构上分析,每个几何命题都由两部分组成,即条件部分与结论部分,它表明条件与结论之间的某种因果关系,形式上可以表达为“如果……（条件）那么……（结论）”.用A表示条件,B表示结论,就可以写成：
如果有A,那么有B; 或A?圯B.
用“如果……（条件）那么……（结论）”这种形式,对长方形的长和宽与面积之间的关系进行表达,可以有以下一些表达方式：
（1）如果已知一个长方形的长和宽,那么就可以求出（或确定）这个长方形的面积；
（2）如果已知一个长方形的面积,那么就可以求出（或确定）这个长方形的长和宽；
（3）如果不知道一个长方形的长和宽,那么就不能求出（或确定）这个长方形的面积；
（4）如果不知道长方形的面积,那么就不能求出（或确定）这个长方形的长和宽.
在上面的这些命题中,有肯定语气的命题和否定语气的命题.一个肯定语气的命题,以否定语气叙述时就得到了另一个命题；再把这两个命题的条件和结论交换位置又可以得到两个不同的命题.所以命题有四种形式,即原命题、逆命题、否命题和逆否命题.上面列举的四个命题（1）～（4）依次可称为原命题、逆命题、否命题和逆否命题.
如果不管命题的具体内容,只从它的结构形式来研究,上述四种命题可以简单表述为：
原命题：如果有A,那么有B；或A?圯B.
逆命题：如果有B,那么有A；或B?圯A.
否命题：如果没有A,那么没有B；或A?圯B.
逆否命题：如果没有B,那么没有A；或B?圯A.
这四种命题之间存在着下面的关系：……由上面的例子可知：成互逆或互否关系的两个命题,不一定同真同假；但互为逆否关系的两个命题,真则同真、假则同假.这种真则同真、假则同假的两个命题叫做等价命题.因此,原命题与它的逆否命题是等价的,原命题的逆命题与否命题也是等价的.利用命题的这种等价关系,要证明一个数学命题时,可以用证明和它等价的命题来代替,这样,数学命题的证明就多了一条思路.
弄清了四种命题及它们的关系后,我们可以进一步研究充分条件、必要条件和充要条件.
一个命题表示条件与结论之间的某种关系.某一事物的发生与存在,会促使另一个事物的发生与存在,或某一事物的不发生与不存在,也会促使另一事物的不发生或不存在.事物之间的这种关系,叫做条件关系.其中有充分条件、必要条件和充要条件等关系.
如果A成立,那么B成立,即A?圯B,这时我们说条件A是B成立的充分条件.“充分”的含义是：为使B成立,具备条件A就足够了.用日常语言表达充分条件的含义就是“有之必然”.例如：
命题：如果知道一个长方形的长和宽,那么就可以求出（或确定）这个长方形的面积.
这个命题的条件和结论分别是：
条件：知道一个长方形的长和宽；
结论：可以求出（或确定）这个长方形的面积.
显然,上面的条件是结论成立的充分条件.
如果A不成立,那么B也不成立,这时条件A是B的必要条件,即：圯B.必要条件的特征是“无之必不然”.由命题之间的等价关系可知,命题A?圯B与命题B?圯A等价.也就是说,我们要判断条件A是不是结论B成立的必要条件时,只要把B作为条件,A变为结论,判断条件B是不是结论A成立的充分条件即可.
综上所述,我们可以得出：如果A?圯B,那么A是B成立的充分条件.如果B?