Question

当x趋于0时，lim(1+X)^(1/X^2)和lim(1+X)^(1/X^3)中无穷大量是?

这是一道选择题，我选择两个都是，可是答案是后者。为什么呢?是答案出错了。还是这个无穷大量里还另有玄机呢?

Answer 1

这里是另有玄机.
实际上,
当x从0的两侧分别趋近于0时,
(1+x)^(1/x²)的渐进行为是不同的.
具体来说:
lim{x
→
0-}
(1+x)^(1/x²)
=
0,
lim{x
→
0+}
(1+x)^(1/x²)
=
+∞.
因此不能说x
→
0时(1+x)^(1/x²)是无穷大量,
因为在0的左侧是有界的.
与此不同,
lim{x
→
0-}
(1+x)^(1/x³)
=
+∞
=
lim{x
→
0+}
(1+x)^(1/x³).
或者直接写为lim{x
→
0}
(1+x)^(1/x³)
=
+∞.
即x
→
0时(1+x)^(1/x³)是无穷大量.