高数证明n次方根有n个根
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1.多项式除以一个一次式可以得到一个常数.
即多项式f(x)都可表为(x-a)q(x)+r(其中,q(x)为多项式而r为常数)
2.x=a,则有f(a)=(a-a)q(a)+r,即r=f(a),故f(x)=(x-a)q(x)+f(a)
3.a为f(x)的根,则f(a)=0,即f(x)整除(x-a)
4.注意到若a≠b,则x-a不整除x-b
5.若f(x)有n+1个不同的根x1,x2,……,xn,x(n+1),
则f(x)整除x-x1,x-x2,……,x-xn,x-x(n+1),
且x-x1,x-x2,……,x-xn,x-x(n+1),不相互整除
即f(x)可表为(x-x1)(x-x2)……(x-xn)[x-x(n+1)]g(x)(其中,g(x)为多项式)
由x的次数知这是不可能的
即多项式f(x)都可表为(x-a)q(x)+r(其中,q(x)为多项式而r为常数)
2.x=a,则有f(a)=(a-a)q(a)+r,即r=f(a),故f(x)=(x-a)q(x)+f(a)
3.a为f(x)的根,则f(a)=0,即f(x)整除(x-a)
4.注意到若a≠b,则x-a不整除x-b
5.若f(x)有n+1个不同的根x1,x2,……,xn,x(n+1),
则f(x)整除x-x1,x-x2,……,x-xn,x-x(n+1),
且x-x1,x-x2,……,x-xn,x-x(n+1),不相互整除
即f(x)可表为(x-x1)(x-x2)……(x-xn)[x-x(n+1)]g(x)(其中,g(x)为多项式)
由x的次数知这是不可能的
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