已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数),且函数f...
已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.(1)求a的值;(2)若h(x)=f(x)+b√...
已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等. (1)求a的值; (2)若h(x)=f(x)+b√g(x)(b为常数),试讨论函数h(x)的奇偶性.
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解:(1)由题意,∵函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等,
∴f(0)=g(0),即|a|=1,又a>0,故a=1.(4分)
(2)h(x)=f(x)+b√g(x)=|x-1|+b|x+1|,其定义域为R,(8分)
∴h(-x)=|x+1|+b|x-1|.
若h(x)为偶函数,即h(x)=h(-x),则有b=1,此时h(2)=4,h(-2)=4,
故h(2)≠-h(-2),即h(x)不为奇函数;
若h(x)为奇函数,即h(x)=-h(-x),则b=-1,此时h(2)=2,h(-2)=-2,
故h(2)≠h(-2),即h(x)不为偶函数;
综上,当且仅当b=1时,函数h(x)为偶函数,且不为奇函数,(10分)
当且仅当b=-1时,函数h(x)为奇函数,且不为偶函数,(12分)
当b≠±1时,函数h(x)既非奇函数又非偶函数.(14分)
∴f(0)=g(0),即|a|=1,又a>0,故a=1.(4分)
(2)h(x)=f(x)+b√g(x)=|x-1|+b|x+1|,其定义域为R,(8分)
∴h(-x)=|x+1|+b|x-1|.
若h(x)为偶函数,即h(x)=h(-x),则有b=1,此时h(2)=4,h(-2)=4,
故h(2)≠-h(-2),即h(x)不为奇函数;
若h(x)为奇函数,即h(x)=-h(-x),则b=-1,此时h(2)=2,h(-2)=-2,
故h(2)≠h(-2),即h(x)不为偶函数;
综上,当且仅当b=1时,函数h(x)为偶函数,且不为奇函数,(10分)
当且仅当b=-1时,函数h(x)为奇函数,且不为偶函数,(12分)
当b≠±1时,函数h(x)既非奇函数又非偶函数.(14分)
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