Question

已知关于x的方程2x2-(3+1)x+m=0的两根为sinθ，cosθ，θ∈（0...

已知关于x的方程2x2-(3+1)x+m=0的两根为sinθ，cosθ，θ∈（0，2π），求： （1）sinθ1-cotθ+cosθ1-tanθ的值； （2）m的值； （3）方程的两根及此时θ的值．

Answer 1

解：（1）由根与系数的关系，得sinθ+cosθ=3+12①sinθ•cosθ=m2 ②，
∴原式=sin2θsinθ-cosθ+cos2θcosθ-sinθ
=sin2θ-cos2θsinθ-cosθ
=sinθ+cosθ
=3+12
（2）由①平方得：1+2sinθ•cosθ=2+32，
sinθ•cosθ=34，即m2=34，
故m=32．
（3）当2x2-(3+1)x+32=0，解得x1=32，x2=12，
∴sinθ=32cosθ=12或sinθ=12cosθ=32，
∵x∈（0，2π），
∴θ=π3或π6．