Question

已知函数f(x)=lnx-ax+2.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若x...

已知函数f(x)=lnx-ax+2. (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若xlnx≤mx2-12在x∈[1e，1]上恒成立，求m的取值范围.

Answer 1

解答:解:(Ⅰ)定义域{x|x＞0}.(1分)f′(x)=
1
x
+
a
x2
=
x+a
x2
当a＜0时，x∈(0，-a)，f'(x)＜0，f(x)单调递减，
x∈(-a，+∞)，f'(x)＞0，f(x)单调递增;
当a≥0时，x∈(0，+∞)，f'(x)＞0，f(x)单调递增.(4分)
(Ⅱ)由xlnx≤mx2-
1
2
，得
lnx
x
+
1
2x2
≤m.
令已知函数g(x)=
lnx
x
+
1
2x2
.(5分)g′(x)=
1-lnx-
1
x
x2
.
∵当a=-1时，f(x)=lnx+
1
x
+2，
∴g′(x)=
1-lnx-
1
x
x2
=
3-(lnx+
1
x
+2)
x2
.(7分)
当x∈(0，1)时，f(x)单调递减，x∈(1，+∞)时，f(x)单调递增.(8分)
f(x)≥f(1)=3，即lnx+
1
x
+2≥3，
∴g′(x)=
3-(lnx+
1
x
+2)
x2
≤0，
∴g(x)在x∈(0，+∞)上，g'(x)≤0，g(x)单调递减，(9分)
在[
1
e
，1]上，g(x)≤g(
1
e
)=-e+
e2
2
，若
lnx
x
+
1
2x2
≤m恒成立，则m∈[-e+
e2
2
，+∞).(10分)