Question

高中数学题，求解答

如图

Answer 1

不知道这样解释你能否理解
|f（x）|
表示的几何意义是：
函数
sin3x
与
函数
a0+a1x+...+a4x^4
的“差距”
g（a0...a4）为
|f（x）|的最大值
也就是上面两个函数在
[
0
,
2π
]
上最大的“差距"
而要证明
g（a0...a4）的最小值是
1，就是要证明
①
这个最小值可以取到
②
不可能取到更加小的最小值了
①
很好证明
a0
=
a1
=
...
=
a4
=
0
此时
|f（x）|
就是
sin3x
和
x轴
的差距
对应的
g（a0...a4）值在6个极值点取得，正好是
1
②
不能取到更加小的值了
取以下6个特殊点：
x
=
π/6，
x
=
π/2
，
x
=
5π/6，x
=
7π/6，x
=
3π/2
和
x
=
11π/6
在这6个点的位置，sin3x
依次取得极值
1，-1，1，-1，1
和
-1
我们记
a0+a1x+...+a4x^4
在
这六个特殊位置的取值依次为
p1,
p2,
p3...
p6
假设
g（a0...a4）
可以取到小于
1
的值
那么
至少要先在这6个特殊点取到
小于
1
的值
那么
|
p1
-
1
|
<
1
即
0<p1<2
（其实我们只要用到
p1
>
0）
同理
p2<0,
p3>0,
p4<0,
p5>0,
p6<0
由于
a0+a1x+...+a4x^4
最高次为
4
那么至多有
4
个单调空间
至多有
3
个极值点
是不可能出现
函数值
先负再正再负再正再负再正
这样的情况的
所以
g（a0...a4）不可能取到小于
1
的数值了