Question

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在开区间（0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0，试证在

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在开区间（0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0，试证在（0,1）内至少有一点c,使f'(c)=-f(c)/c

Answer 1

设辅助函数f(x)=f(x)(1-x)^3.
知:f(x)在区间[0,
1]满足洛尔定理的条件.故存在ξ,(0<ξ<1),使:f'(ξ)
=0.
而f(x)=
f'(x)(1-x)^3
+
3f(x)*(1-x)^2
(-1)
=
(1-x)^2
[(1-x)f'(x)
-
3f(x)].
f'(ξ)=
0
,而且是1
-
x≠
0,
即有:(1-ξ)f'(ξ)
-
3f(ξ).=
0
即:
3f(ξ).=
(1-ξ)f'(ξ)
.