Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，点P在椭圆上，且P...

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，点P在椭圆上，且PF⊥x轴，|PF|=12，椭圆C的离心率为32． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若P1P2是椭圆上不同的两点，P1P2⊥x轴，圆E过F，P1，P2三点，且椭圆上任意一点都不在圆E内，求圆E的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）设F（c，0），令x=c，代入椭圆方程，可得
y2=b2（1-c2a2），解得y=±b2a，
由题意可得，b2a=12，ca=32，a2-b2=c2，
解得a=2，b=1，c=3．
∴椭圆方程是x24+y2=1；
（Ⅱ）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，-n），
点E在x轴上，设点E（t，0），
则圆E的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，
由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|，
设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，
则|ME|2=（x-t）2+y2=34x2-2tx+t2+1，
当x=m时，|ME|2最小，∴m=--2t32=4t3，①，
又圆E过点F，所以（-3-t）2=（m-t）2+n2，②，
点P1在椭圆上，∴n2=1-m24，③，
由①②③解得：t=-32或t=-3，
又t=-3时，m=-433＜-2，不合题意，
综上：圆心E（-32，0），m=-233，n2=23，
即有圆E的方程为（x+32）2+y2=34．