x=(x1+x2)/2
若x=(x1+x2)/2,证sinx1/x1*sinx2/x2<(sinx/x)^2最好把2推广到n...
若x=(x1+x2)/2,证sinx1/x1*sinx2/x2<(sinx/x)^2
最好把2推广到n 展开
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构造上凸函数：f(t)＝ln[(sint)/t],
则依Jensen不等式得
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)<n·f[(x1+x2+…+xn) bdsfid="116" n] ∴ln[(sinx1)/x1]+ln[(sinx2)/x2]+…+ln[(sinxn)/xn]<n·ln[(sin(x1+x2+…+xn) bdsfid="117" n)] →∏[(sinxn)/xn]<[(sin(1/n·∑xn))/(1/n·∑xn)]^n.
故原不等式得证.
则依Jensen不等式得
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)<n·f[(x1+x2+…+xn) bdsfid="116" n] ∴ln[(sinx1)/x1]+ln[(sinx2)/x2]+…+ln[(sinxn)/xn]<n·ln[(sin(x1+x2+…+xn) bdsfid="117" n)] →∏[(sinxn)/xn]<[(sin(1/n·∑xn))/(1/n·∑xn)]^n.
故原不等式得证.
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