Question

求解微分方程 xy'-y=x²cosx

Answer 1

齐次特征方程
r^2+r=0
r=0,r=-1
所以齐次通解是y=C1+C2e^(-x)
非齐次分两部分
y''+y'=x^2和y''+y'=cosx
设第一部分特解是y1=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
y'=4ax^3+3bx^2+2cx+d
y''=12x^2+6bx+2c
代入得
12x^2+6bx+2c+4ax^3+3bx^2+2cx+d=x^2
4ax^3+(3b+12)x^2+(2c+6b)x+d+2c=x^2
a=0,3b+12=1,2c+6b=0,d+2c=0
a=0,b=-11/3,c=11,d=-22
y1=-11/3x^3+11x^2-22x+e
设第二部分特解是y2=asinx+bcosx
y'=acosx-bsinx
y''=-asinx-bcosx
代入得
-asinx-bcosx+acosx-bsinx=cosx
(-a-b)sinx+(a-b)cosx=cosx
a-b=1,-a-b=0
a=1/2,b=-1/2
y2=1/2sinx-1/2cosx
所以非齐次通解是
y=C1+C2e^(-x)-11/3x^3+11x^2-22x+e+1/2sinx-1/2cosx
=C+C2e^(-x)-11/3x^3+11x^2-22x+1/2sinx-1/2cosx

Answer 2

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齐次特征方程
r^2+r=0
r=0,r=-1
所以齐次通解是y=C1+C2e^(-x)
非齐次分两部分
y''+y'=x^2和y''+y'=cosx
设第一部分特解是y1=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
y'=4ax^3+3bx^2+2cx+d
y''=12x^2+6bx+2c
代入得
12x^2+6bx+2c+4ax^3+3bx^2+2cx+d=x^2
4ax^3+(3b+12)x^2+(2c+6b)x+d+2c=x^2
a=0,3b+12=1,2c+6b=0,d+2c=0
a=0,b=-11/3,c=11,d=-22
y1=-11/3x^3+11x^2-22x+e
设第二部分特解是y2=asinx+bcosx
y'=acosx-bsinx
y''=-asinx-bcosx
代入得
-asinx-bcosx+acosx-bsinx=cosx
(-a-b)sinx+(a-b)cosx=cosx
a-b=1,-a-b=0
a=1/2,b=-1/2
y2=1/2sinx-1/2cosx
所以非齐次通解是
y=C1+C2e^(-x)-11/3x^3+11x^2-22x+e+1/2sinx-1/2cosx
=C+C2e^(-x)-11/3x^3+11x^2-22x+1/2sinx-1/2cosx