Question

已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根．（...

已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根． （1）是否存在实数k，使（2x1-x2）（x1-2x2）=12成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）求使x1x2+x2x1-2的值为整数的实数k的整数值； （3）若k=-2，λ=x1x2，试求λ的值．

Answer 1

解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，
∴△=b2-4ac=16k2-4×4k（k+1）=-16k≥0，且4k≠0，解得k＜0．
∵x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，
根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=k+14k，
∴（2x1-x2）（x1-2x2）=2x12-4x1x2-x1x2+2x22=2（x1+x2）2-9x1x2=2×12-9×k+14k=2-9(k+1)4k，
令2-9(k+1)4k=12，求得k=-3．
（2）由于x1x2+x2x1-2=x12+x22x1•x2-2=(x1+x2)2-2x1•x2x1•x2-2=4k+1-4
为整数，且k＜0，
∴k=-2，-3，-5．
（3）∵k=-2，λ=x1x2，x1+x2=1，∴λx2+x2=1，x2=1λ+1，x1=λλ+1．
再根据x1x2=k+14k=18，可得λ(λ+1)2=18，求得λ=3±22．