Question

解斜三角形的三角形面积公式怎么来的

今天在看解斜三角形。看到三角形的面积的面积公式有七个。前面三个能推出来。后面的涉及到外接圆。内接圆就傻了。希望高手给详细解释一下后面四个三角形面积公式。不理解的话我背不下来。万分感谢啦。今晚我就能上线。

Answer 1

因为斜三角形的两边之比无法表示成该三角形的角的函数，因此要解斜三角形必须借助于正弦定理和余弦定理等公式。

常用解三角形公式：

1、已知三角形底a，高h，则S=ah/2；

2已知三角形三边a,b,c,则

(海伦公式) p=（a+b+c)/2

S=sqrt[p()-)(P-b)(P-C)]

=sqrt(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a+C-b)(b+C-a)]

=1/4sqrt(a+b+c)(a+b-C)(a+C-b)(b+C-a)] 

3、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,

则S=a×b×sinc/2

即两夹边之积乘夹角的正弦值。

4、设三角形三边分别为a、b、C,内切圆半径为

则三角形面积S=(a+b+c)r/2

5、设三角形三边分别为a、b、C,外接圆半径为R

则三角形面积=abc/4R

扩展资料

常见的三角形按边分有等腰三角形（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）、不等腰三角形；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

参考资料来源：百度百科-三角形面积公式

参考资料来源：百度百科-斜三角形

Answer 2

第四个公式：
外接圆指的是一个圆的圆周过三角形三顶点，其圆心为三角形三边中垂线交点，即外心。
第四个公式是由第二个推过来的。这样说吧，现有△ABC及其外接圆O，现在连接CO并延长与圆周交与B'点，再连接AB'。
根据同弧所对圆周角相等可以得出∠B=∠B'，CB'为直径，即CB'=2R。
根据直径所对圆周角为直角，可以推出CB'*sinB'=AC=b，也就等价于2RsinB=b
同理推出2RsinC=c
将这两个式子代入第二个公式即是第四个公式。

第五个公式
第五个公式同第四个一样，由上面推出的2RsinB=b推出sinB=b/2R
代入第二个公式中的S=ac sinB /2中就是第五个公式

第六个公式
第六个是海伦公式，怎么推出来的我还真不知道，不过我上中学的时候是用不到这个公式的。

第七个公式
第七个我没看明白，那个S是不是指的三角形周长的一半？
我们通常用C表示周长的=。=
这个涉及三角形内切圆（是内切圆不是内接圆）。
内切圆是一个圆和三角形的每边都相切，内切圆圆心为三角形的内心，内心是三角形三内角平分线的交点。内心距三角形每边的距离都相等，这个距离就是内切圆半径r。
连接内心和三角形三顶点，可以把三角形分成三个小三角形，每个小三角形的面积都用底*高的一半来计算。三个小三角形面积一加就是整个三角形面积。这就是这个公式的来历。

我看LZ还处在记忆三角形面积公式的阶段，应该还没有学圆，所以有的证明可能不大懂，我也没整，它就是这么证明的=。=
你们老师难道这么BT，连海伦公式也要记。。。

Answer 3

第四个，
由正弦定理a/sinA=2R,b/sinB=2R
也就是说a=2RsinA,b=2RsinB
然后代入定理2的结论S=1/2 abSinC
就可以得到定理4的结论了

第五个，
还是由正弦定理
c/sinC=2R,所以sinC=c/2R
代入定理2的结论S=1/2 abSinC
就可以得到定理5的结论了

第六个，
也叫秦九韶---海伦公式，或海伦公式，用处不大，只记个结论就好
证明方法如下：
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

第七个，
画个三角形，再画个内切圆，连接内心和三角形三个顶点，将三角形分为3个小三角形，每个小三角形的高都是r
底边长分别是a,b,c
那么大三角形的面积就是三个小三角形面积之和
S=(1/2)ar+(1/2)br+(1/2)cr=(1/2)(a+b+c)r

Answer 4

三角形
面积公式
1、已知三角形底a，高h，则
s＝ah/2
2、已知三角形三边a,b,c，则
（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
s=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=sqrt[(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
=1/4sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
3、已知三角形两边a,b,这两边夹角c，则s＝1/2
*
absinc，即两夹边之积乘夹角的正弦值。
4、设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r
则三角形面积=(a+b+c)r/2
5、设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r
则三角形面积=abc/4r

Answer 5

http://www.teacherclub.com.cn/tresearch/a/1075674170cid00049

这个网页里有，你可以去仔细看看，希望对你有帮助