Question

已知a.b是常数,若(1+1/n)n-e

1.已知a_1=1,a_n+1=(n^2+n-λ)a_n,问是否存在常数λ,使得数列{a_n}为等差数列.若存在,请求出λ.
2.已知a_1=2,a_n+1=λa_n+2^n,n∈N+,λ为常数.
问：当λ=2时,若{a_n/2^(n-1) }为等差数列,求数列{a_n}的通项公式.

Answer 1

1,因为a1=1,a（n+1）=(n^2+n-λ)an,所以a1=1,a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ)=12-8λ+λ^2,
要使数列{an}为等差数列,即 (a1+a3)=2a2,
即 13-8λ+λ^2=4-2λ,λ^2-6λ+9=0 ,解得 λ=3,
当λ=3时,a1=1,a2=-1,a3=-3,a4=-27····
而a4-a3=-24,与a2-a1=a3-a2=-2不相等,
所以不存在常数λ,使得数列{a_n}为等差数列.
2,a1=2,a（n+1）=λan+2^n,当λ=2时,a（n+1）=2an+2^n,
即 a（n+1）-2an=2^n.
{an/2^(n-1) }为等差数列,即
a（n+1）n/2^n -an/2^(n-1）=（a（n+1）-2an）/2^n=2^n/2^n=1.
所以{an/2^(n-1) }是公差为1等差数列,其首项是a1=2.
所以an/2^(n-1)=2+（n-1）=n+1,an=（n+1）*2^(n-1).
所以数列{a_n}的通项公式为：an=（n+1）*2^(n-1).