Question

设函数f(x)=ax^2+bX+c,且f(1)=-a/2

求证函数有两个零点 设x1,x2使函数的两个零点。求|x1-x2|的取值范围 求证函数在区间（0，2）内至少有一个零点

Answer 1

f(x)=ax^2+bX+c,且f(1)=-a/2
3a+2(b+c)=0,a=-2(b+c)/3,
证函数有两个零点,等价于证明b^2-4ac>0,
等价于证明:b^2>-8c(b+c)/3,
等价于证明:b^2+2(b+2c)^2>0,
如果b、c同时为0，则a也为0，则f(x)成为y轴，此时1不在定义域内，与
“f(1)=-a/2”不符，故b、c不同时为0，因此b^2+2(b+2c)^2>0，
......所以，函数有两个零点
|x1-x2|·|x1-x2|=（x1-x2）^2
=(x1+x2)^2-4x1x2=(b^2-4ac)/a^2>0,|x1-x2|>0
[f(0)+f(2)]/2=[c+(4a+2b+c)]/2=a/2,与f(1)=-a/2异号，
故分别在区间(f(0),f(1))和(f(1),f(2))内存在点：x0、y0，使得这两点的一阶导数值为0，（0<x0<1,1<y0<2）,故至少存在一点z0∈（x0,y0）∈（0，2）,使得函数值为0，因此，函数在区间（0，2）内至少有一个零点