Question

（附加题）已知圆O：x2+y2=4与x轴正半轴交于点A，在圆上另取两点B，C，使...

（附加题）已知圆O：x2+y2=4与x轴正半轴交于点A，在圆上另取两点B，C，使∠BAC=π4，平面上点G满足GA+GB+GC=0，求点G的轨迹方程．

Answer 1

解：法1：由GA+GB+GC=0，知点G即△ABC的重心，
圆O：x2+y2=4与x轴正半轴交于点A，
易知A（2，0）因为B、C在圆x2+y2=4上，故设点B（2cosθ，2sinθ）．
由∠BAC=π4，则∠B0C=π2，
则点C的坐标为(2cos(θ+π2)，2sin(θ+π2))，
由重心坐标公式得轨迹的参数方程：x=13(2+2cosθ+2cos(θ+π2))y=13(2sinθ+2sin(θ+π2))（θ为参数）
即x=13(2+2cosθ-2sinθ)y=13(2sinθ+2cosθ)
化为普通方程是：(x-23)2+y2=89，轨迹为以点(23，0)为圆心，223为半径的圆．
法2：由∠BAC=π4，则∠B0C=π2，设BC的中点为P，易求得OP=2．
故点P的轨迹方程为x2+y2=2，
连接AP，因为点G为△ABC的重心，所以点G为AP的一个三等分点．
由坐标转移法同理求得点G的轨迹方程为：(x-23)2+y2=89